مجموع مربعات الأضلاع الأربعة في متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات قطريه. إثبات موجز: ليكن طول الضلع الأول سطراً وطول الضلع الثاني كثانياً والزاوية المحصورة بينهما عرْضاً؛ بحسب قانون جيب تمام الزاوية يكون مربع طول أحد القطرين مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين زائد ضعفي حاصل ضربهما مضروبًا في جيب تمام الزاوية، أما مربع القطر الآخر فيساوي مجموع مربعي طولي الضلعين ناقصًا نفس المقدار، وبجمع مربعي القطرين يلغي الحدان المتقابلان المرتبطان بجِيب التمام فيتبقى ضعف مجموع مربعي طولي الضلعين، وهذا يساوي مجموع مربعات الأضلاع الأربعة لأن كل زوج من الأضلاع المتقابلة متساوٍ في الطول. سار تصدير الحصان العربي البولندي بصورة منتظمة إلى بريطانيا وكندا وتشيكوسلوفاكيا وألمانيا الشرقية والمجر وإيطاليا ورومانيا والاتحاد السوفييتي. وكان عدد كبير من الخيول يذهب سنويًا إلى الولايات المتحدة، فأصبحت السلالات العربية البولندية حاضرة في بلدان متعددة، واستمر الإقبال الدولي على خيولها وتربيتها. المجسم الرباعي المنتظم المعروف بالمخروط الرباعي المنتظم أو الهرم الرباعي المتساوي الأوجه يتألف من أربعة أوجه جميعها مثلثات متساوية الأضلاع، بحيث تشكل كل وجه مثلثًا متساوي الأضلاع فتكون جميع الحواف متساوية والطبيعة الهندسية للمجسم تعتمد على تساوي الأضلاع والزوايا بين هذه المثلثات، مما يجعله من الأشكال الأفلاطونية البسيطة ذات التناظر العالي. جمعية العربية الفتاة جمعية سياسية قومية عربية سرية أنشأها طلاب عرب في باريس، وارتبطت بنشوء الفكر القومي العربي في أواخر العهد العثماني. ظهرت كرد فعل على سياسة التتريك ودعوات جمعية الاتحاد والترقي، وبدأت بالمطالبة بحقوق العرب الاجتماعية والقومية داخل الدولة العثمانية، ثم تطورت مطالبها مع اشتداد القمع والإعدامات في بلاد الشام إلى الحكم الذاتي ثم الاستقلال العربي. كان لها أثر في التحضير للمؤتمر العربي في باريس، كما ارتبط اسمها براية قومية جمعت ألواناً أصبحت لاحقاً أساساً لعلم الثورة العربية. مثلت الجمعية إحدى البذور التنظيمية المبكرة للحركة القومية العربية الحديثة. يتناول هذا البحث الانتخابي مسألة تاريخية محددة في تاريخ الانتخابات الرئاسية الأمريكية: تحديد دورة الانتخابات التي حصل فيها المرشح الخاسر على أكبر عدد من الولايات مقارنة بنظيره المنتصر، بحيث يبقى هذا الرقم الأعلى مسجلاً حتى الوقت الحاضر. تتطلب هذه المسألة مقارنة توزيع الفوز بالولايات عبر الدورات المختلفة، مع مراعاة أن بعض الانتخابات تميزت بوجود مرشحين ثالثين أو انقسامات إقليمية أدت إلى فوز الخاسر بعدد كبير من الولايات رغم خسارته في المجمع الانتخابي أو إجمالي الأصوات. يهدف التحقيق إلى تحديد تلك الدورة الانتخابية بالضبط وتوضيح السياق السياسي والجغرافي الذي أدى إلى بروز هذا السجل وعدم تجاوزه في الدورات اللاحقة.